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深入解析快速排序(Quick Sort)

本文将对快速排序进行深入的分析和介绍。通过学习本文,您将

  • 秒杀快速排序面试
  • 掌握高效实现快排
  • 加深范型编程意识

八卦花絮

快速排序是由图灵奖获得者、计算机语言设计大佬C. A. R. Hoare在他26岁时提出的。说起C. A. R. Hoare老爷爷,可能很多人的第一印象就是快速排序,但是快排仅仅是他人生中非常小的成就而已。例如,他在1978年提出的Communicating Sequential Processes(CSP)理论,则深深的影响了并行程序设计,Go语言中的Goroutine就是这种典范。

基本思想

快速排序的思想非常简单:对于一个数组S,我们选择一个元素,称为pivot。将数组S中小于等于pivot的元素放在S的左边,大于等于pivot的元素放在S的右边。左右两部分分别记为S1和S2,然后我们递归的按上述方式对S1、S2进行排序。

具体说来,我们维护两个指针,采用两边扫描。从左到右扫描,当遇到一个元素大于等于pivot时,暂停。从右到左扫描,当遇到一个小于等于pivot元素时,暂停。然后交换这两个元素。继续扫描,直到两个指针相遇或者交叉。

从直观上看,每次递归处理的两个子数组S1、S2的大小最好是相等或者接近的,这样所花费的时间最少。

实现细节

说起来容易,做起来难了。要想正确实现快速排序非常不容易,很容易犯错。简单的修改就可能导致程序死循环或者结果错误。如果你一度感到很难在几分钟内实现一个正确的快速排序,说明你是正常人。那些五分钟内就能把快速排序写对的,几乎都是背代码。

我在实现以下代码时,就反复调试了十几分钟。而且,我会告诉你曾经JDK的某个版本实现中都存在bug么?

在给出完整代码之前,我们来考虑几个非常重要的问题。

如何选择pivot?

至少有几种显而易见的方法:

尝试1:选择数组中的第一个元素。成本低,但是当输入数组已经有序时,将导致O($n^2$)的复杂度。例如S={1,2,3,4,5,6,7,8,9},如果选择第一个元素也就是1作为pivot,那么S1={1}, S2={2,3,4,5,6,7,8,9},两个子数组非常的不平衡。当递归对S2排序时,选择2也就是S2中第一个元素作为pivot排序时,又会将S2分成两个极其不平衡的子数组。经过简单分析可知,此时算法复杂度为O($n^2$)。因此这不是一个理想、健壮的方法。

尝试2:随机选择一个。这种方法一般都能很好work,但是随机子程序可能非常昂贵,这可能拖慢整个程序。

尝试3:取中位数。取中位数可以保证S的两个子数组是等大小的(或者相差1),但是计算中位数可不是一个轻轻松松的活儿,将会严重拖慢算法速度。

尝试4:三数取中。尝试3方法太昂贵,我们可以稍微改变下:取数组第一个元素、最后一个元素、中间元素这三个元素的中位数。

遇到相等的元素怎么办?

左右扫描,如果遇到和pivot相等的元素怎么办?是暂停扫描还是继续扫描?

首先,两个方向采取的策略应该是一样的,也就是要么都暂停(然后交换),要么都继续扫描。否则将导致两个子数组不平衡。

其次,为了更好分析这个问题,我们不妨考虑所有元素都相同的情形。如果我们遇到和pivot相等的时候不停止,那么从左到右扫描时,两指针将相遇,此次过程结束。结果呢?什么都没做,却得到了两个大小极其不均衡的数组。算法时间复杂度为O($n^2$)。如果我们选择遇到相等元素时停止扫描,然后交换,那么虽然看上去交换的次数变多了,但是我们将得到大小相等(或者差1)的两个子数组。算法的时间复杂度为O($nlgn$)。

因此,遇到和pivot相等的元素时候我们都暂停扫描,交换元素后继续,直到指针相遇或者交叉。

小数组怎么处理?

随着不断的递归,待排序的子数组大小越来越小,所含元素越来越少。当子数组所含元素较少(比如说,20个)时,由于它们已经基本有序,我们改变策略,对它们改用插入排序。这也方便了三数取中策略的实现,否则我们在三数取中的时候还得特殊考虑子数组有0个、1个、2个元素的情形。当子数组多大时我们转换排序方法呢?这个最优值就依赖于体系结构了。为了找到你系统中它的最优值,请多测试!测试!测试!

完整实现

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#define INLINE __attribute__((always_inline))
template<typename T>
class MyCompareOperator
{
public:
  INLINE bool operator() (const T &a, const T &b) const { return a < b;}
};
template<typename T, typename CompareOperator, int64_t threshold = 20>
class SoupenSort
{
public:
  static void sort(T *data, int64_t size);
private:
  static void sort_(T *data, int64_t left, int64_t right, const CompareOperator &co);
  static void insertion_sort(T *data, int64_t left, int64_t right, const CompareOperator &co);
  static const T& get_pivot(T *data, int64_t left, int64_t right, const CompareOperator &co);
};
template<typename T, typename CompareOperator, int64_t threshold>
INLINE void SoupenSort<T, CompareOperator, threshold>::sort(T *data, int64_t size)
{
  CompareOperator co;
  sort_(data, 0, size - 1, co);
}

template<typename T, typename CompareOperator, int64_t threshold>
void SoupenSort<T, CompareOperator, threshold>::sort_(T *data, int64_t left, int64_t right, const CompareOperator &co)
{
  if(right - left > threshold) {
    const T& pivot = get_pivot(data, left, right, co);
    int64_t i = left;
    int64_t j = right - 1;
    while(true) {
      do
      {
        ++i;
      }while(co(data[i], pivot));
      do
      {
        --j;
      }while(co(pivot, data[j]));
      if (i < j) {
        std::swap(data[i], data[j]);
      } else {
        break;
      }
    }
    std::swap(data[i], data[right - 1]);//restore pivot
    sort_(data, left, i - 1, co);
    sort_(data, i + 1, right, co);
  } else {
    insertion_sort(data, left, right, co);
  }
}

template<typename T, typename CompareOperator, int64_t threshold>
INLINE void SoupenSort<T, CompareOperator, threshold>::insertion_sort(T *data, int64_t left, int64_t right, const CompareOperator &co)
{
  int64_t begin = left + 1;
  int64_t end = right + 1;
  for (int64_t i = begin; i < end; i++) {
    //insert data[i]. data[left to i-1] are ordered already
    int64_t j = i - 1;
    T tmp = data[i];
    while(j >-1 && co(tmp, data[j])) {
      data[j+1] = data[j];
      j--;
    }
    data[j+1] = tmp;
  }
}

template<typename T, typename CompareOperator, int64_t threshold>
INLINE const T& SoupenSort<T, CompareOperator, threshold>::get_pivot(T *data, int64_t left, int64_t right, const CompareOperator &co)
{
  int64_t mid = (left + right) / 2;
  if (co(data[mid], data[left])) {
    std::swap(data[mid], data[left]);
  }
  if (co(data[right], data[mid])) {
    std::swap(data[mid], data[right]);
  }
  if (co(data[mid], data[left])) {
    std::swap(data[mid], data[left]);
  }
  //Store pivot there to facilitate bound processing in sort_
  //data[right - 1] <= data[right]
  std::swap(data[mid], data[right - 1]);
  return data[right - 1];
}

我们把以上实现的快速排序称为SoupenSort。是的,90行不到。

测试结果

测试程序已经放到了github上,可以从这里下载。

我们pk的对象包括STL中的sort,以及C语言里大名鼎鼎的qsort。

我们的平台是Ubuntu 64位系统 + gcc 4.8

测试结果:

1000W个随机打乱的32位无符号整数

开启O2优化(单位:秒):

sort: 1.06

SoupenSort: 1.20

qsort: 2.08

未开启O2优化(单位:秒):

sort: 3.29

SoupenSort: 2.93

qsort: 2.91

1000W个相同的整数

开启O2优化(单位:秒):

sort: 0.23

SoupenSort: 0.27

qsort: 0.59

未开启O2优化(单位:秒):

sort: 2.60

SoupenSort: 1.56

qsort: 0.76

什么结论?

没开优化,那么所需时间 qsort < SoupenSort < sort

开了优化,那么所需时间 sort < SoupenSort < qsort

为什么sort可以这么叼?据说它综合了插入排序、快速排序和堆排序。这让我想起了推荐和广告比赛里,有些队伍利用Ensemble Learning没节操地堆了几百个model。。。

Further Thinking

1,64行的 while(j >-1 && co(tmp, data[j])) 能否改为 while(j >-1 && !co(data[j], tmp)) ? 同理,36和40行能否作相应的改动?

2,30-46行能否改为:

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int64_t i = left + 1;
int64_t j = right - 2;
while(true) {
  while(co(data[i], pivot)) {
    ++i;
  }
  while(co(pivot, data[j])) {
    --j;
  }
  if (i < j) {
    std::swap(data[i], data[j]);
  } else {
    break;
  }
}

深入分析这样的case,将会对编写正确的快速排序的困难性有更深的体会,虽然我们已经有循环不变式这个强大的工具。

3,快速排序所需的栈空间是多少?能否进一步优化?

4,SoupenSort的时间复杂度是多少?O($n^2$)还是O($nlgn$)?如果是前者,那么,什么情况下是二次的?